函數概念是數學中最基本的概念之一，但它不像算術產生于遠古時代，函數概念的產

生非常晚，至今只有三百余年歷史。函數概念的演變大體上可分為萌芽階段、形成階段、

成熟階段、近代階段和現代階段等五個階段。 

在公元十六世紀之前，數學上占統治地位的是常量數學，其特點是用孤立、靜止的觀

點去研究事物。具體的函數在數學中比比皆是，但沒有一般的函數概念。十六世紀，隨著

歐洲過渡到新的資本主義生產方式，迫切需要天文知識和力學原理。當時，自然科學研究

的中心轉向對運動、對各種變化過程和變化著的量之間依賴關系的研究。數學研究也從常

量數學轉向了變量數學。數學的這個轉折主要是由法國數學家笛卡爾完成的，他在《幾何

學》一文中首先引入變量思想，稱為“未知和未定的量”，同時引入了兩個變量之間的相依

關系。這便是函數概念的萌芽。十七世紀，在對各種各樣運動的研究中，人們愈來愈感到

需要有一個能準確表示各種量之間關系的數學概念。經過深思熟慮，人們從笛卡爾的變量

思想中得到啟示，從而引出了函數概念。據考證，十七世紀中葉，微積分的創始人之一德

國數學家萊布尼茲最先使用函數（function）這個名詞。不過，他指的是變數x的冪x，x，…

等等。后來才逐步擴展到多項式函數、有理函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函

數和反三角函數以及由它們的四則運算、各種復合所形成的初等函數。這些函數都是具體

的，都有解析表達式，并且和曲線緊密聯系在一起。那時的函數就是表示任何一個隨著曲

線的點的變動而變化的量。至此，還沒有函數的一般定義。 

十八世紀初，貝努利最先擺脫具體的初等函數的束縛，給函數一個抽象的不用幾何形

式的定義：“一個變量的函數是指由這個變量和常量的任何一種方式構成的一個量。”歐拉

則更明確地說：“一個變量的函數是該變量和常數以任何一種方式構成的解析表達式。”函

數之間的原則區別在于構成函數的變量與常量的組合方式的不同。歐拉最先把函數的概念

寫進了教科書。在貝努利和歐拉看來，具有解析表達式是函數概念的關鍵所在。 

1734年，歐拉用記號y=f( x)表示變量x的函數，其中的“f”取自“function”的第

一個字母。 

十八世紀中期，由于偏微分方程中的弦振動問題引起了關于函數概念的爭論，迫使數

學家接受一個更廣泛的概念。1755年歐拉給函數下了一個新的定義：如果某些量這樣地依

賴于另一些量，當后者改變時它經常變化，那么稱前者為后者的函數。 

法國數學家傅立葉的工作更廣泛地展現了函數究竟是什么的問題，他的工作動搖了十

八世紀的信念，那種視函數僅為解析式的觀點作為揭示函數關系真諦的巨大障礙終于排除

了。 

十九世紀20年代，微積分嚴格理論的奠基者柯西的函數概念，可以說是現代函數概

念的基礎，他認識到函數是變量與變量之間的一種關系，但不足之處是仍然沒有擺脫“表

達式”之說。 

1837年，德國數學家狄利克萊在總結柯西和羅巴切夫斯基工作的基礎上，給出至今最

常用的函數定義：如果對于給定區間上的每一個x的值都有唯一的一個y值與它對應，那

么y就是x的一個函數。至于在整個區間上y按照一種還是多種規律依賴于x，或者y依

賴于x是否可用數學運算來表達，那都是無關緊要的。 

十八世紀以來，隨著微積分的發展，函數概念不斷變化，經過二百多年的演變，函數

概念逐步清晰與穩定。引入了映射概念，其一般定義為：設集合X、Y，如果X中每一個元

素x都有Y中唯一確定的元素y與之對應，那么我們就把此對應叫做從集合X到集合Y的

映射。記作f：X→Y，y=f(x)。 

二十世紀初，G·H·哈代更明確指出：函數的本質屬性在于：y和x之間存在某種關

系，使得y的值總是對應著某些x的值。 

隨后，O·維布倫用集合定義了變量與函數。“變量是代表某個集合中任一元素的記號。”

“變量y的集合與另一個變量x的集合之間，如果存在著對于x的每一個值，y有確定的

值與之對應，那么y叫做x的函數。”這個定義比此前的定義更合理、更確切，這是一個比

較完整的函數概念。 

1939年，N·布爾巴基用集合之間的映射定義了函數：

“設E和F是兩個集合，E中的每一個變元x和F中的每一個變元y之間的一個關系

f稱為函數，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它們滿足給定的關系。”記作f：E→F，

f

或者記作E??→F。

在布爾巴基的定義中，E和F不一定是數的集合。他強調函數是集合之間的一個映射。

因此，他所定義的函數更加廣泛。 

現在常用的函數概念，也是中學數學中的函數概念，把變量局限于實數范圍：

設x表示某數集D中的變元。對D中每一個x，按一定的法則有唯一的實數y與之對

應，則稱y是x的函數，記作y=f(x)。稱x為自變量，D叫做函數的定義域，f表示對應

法則，y的取值范圍叫做函數的值域。 

二十世紀以來，函數概念不斷擴充，函數不僅是變數，還可以是其它變化著的事物。

還出現了所謂廣義函數以及函數的函數等等。但大體上可被布爾巴基的函數概念覆蓋。以

研究函數為已任的分析學，成為數學的三大基本分支之一，形成幾何、代數、分析三足鼎

立的局面。在分析學中，函數論占有重要地位，它又劃分為實函數論與復函數論兩大部分，

分工越來越細。 

我國最早使用“函數”一詞是清朝數學家李善蘭。1859年李善蘭在上海與英國人偉烈

亞力合作譯英國數學著作《代數學》時譯道：“凡式含天，為天之函數”，首次將“function”

譯成“函數”。中國古代以天、地、人、物表示未知數，“函”字即“含有”、“包含”之意。 

函數概念的演變過程，就是一個函數內涵在不斷地被挖掘、豐富和精確刻劃的歷史過

程；同時看出數學概念并非生來就有，一成不變，而是人們在對客觀世界深入了解過程中

得到，并不斷加以發展的，從而以適應新的需要。