要求看第二場電影,每位觀眾必須跟他相鄰的某一觀眾交換位置,即要求每一黑白格必須互換,因黑白格的總數不相等,因此是不可能的.

2.  將編號為奇數的房間染成黑色,編號為偶數的房間染成白色.從1號房間出發,只能按黑    白     黑    白    ……的次序,當走遍九個房間時應在黑色房間中,這個房間不與1號房間相鄰,故不能不重復地走遍所有房間又回到1號房間.

3.  圖(a)行,走法如圖所示.

                        圖(a)

圖(b)不行,將小屋染成黑色,果樹染成黑白相間的顏色,則圖(b)中有41個黑色的,40個白色的.從小屋出發,按黑    白     黑    白    ……的次序,當走遍80棵樹后,到達的樹的顏色還是黑色,與小屋不相鄰,故不可能最后回到小屋.

4.  不能.原因是每一個2´1的矩形骨牌一定恰好蓋住一個黑格和一個白格,31個這樣的骨牌恰好蓋住31個黑格和31個白格.

但是國際象棋棋盤上對角兩格的顏色是相同的,把它們去掉后剩下的是30個白格,32個黑格,或32個白格,30個黑格,因此不能蓋住.

5.  中國象棋棋盤上有90個交叉點,把棋盤分成10個小部分,每部分有3´3=9個交叉點,由抽屜原則知,至少有一個小部分內含有6只馬.

將這一小部分的9個交叉點分別涂上黑色及白色.總有兩只馬在不同顏色交叉點上,故一定有兩只馬“互吃”.

6.  設這六個點為A、B、C、D、E、F.我們先證明存在一個同色的三角形:

考慮由A點引出的五條線段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三條被染成了相同的顏色,不妨設AB、AC、AD三條同為紅色.再考慮三角形BCD的三邊:若其中有一條為紅色,則存在一個紅色三角形;若這三條都不是紅色,則三角形BCD為藍色三角形.

下面再來證明有兩個同色三角形,不妨設三角形ABC的三邊同為紅色.

(1)若三角形DEF也是紅色三角形,則存在兩個同色三角形.

(2)若三角形DEF中有一條邊為藍色(不妨設DE),下面考慮DA、DB、DC三

條線段，其中必有兩條同色.

②若其中有兩條是藍色的,設DA、DB為藍色(圖2).此時在EA、EB兩條線段中,若有一條為藍色,則存在一個藍色三角形;若兩條都是紅色的,則三角形EAB為紅色三角形.

綜上所述,一定有兩個同色三角形.

7.  甲蟲不能走遍所有的立方體.

我們將大正方體如圖分割成27個小正方體,涂上黑白相間的兩種顏色,使得中心的小正方體染成白色,再使兩個相鄰的小正方體染上不同的顏色.顯然在27個小正文體中,14個是黑的,13個是白的.甲蟲從中間的白色正方體出發,每走一步,小正方體就改變一種顏色.故它走27步,應該經過14個白色的小正方體,13個黑色的小正方體.因此在27步中至少有一個白色的小正方體,甲蟲進去過兩次.故若要求甲蟲到每個小正方體只去一次,甲蟲就不能走遍所有的小正方體.

8.  將棋盤上的各點按黑白相間的方式染上黑白二色.

由“馬步”的行走規則,當“馬”從黑點出發,下一步只能跳到白點,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出發點(黑點),它必須跳偶數步.

9.  不能.半張象棋盤共有45個格點,馬從起點出發跳遍半張棋盤,則起點與最后一步同色.故不可能從最后一步跳回起點.

10.  與B點同色的點(白點)有22個,異色的點(黑色)有23個.馬從B點出發,跳了42步時,已經跳遍了所有的白色,還剩下兩個黑點,但是馬不能夠連續跳過兩個黑點.

11.  不能.因為A、B兩點異色,從B到A所跳的步數是一個奇數.

12.  “車”每走一步,所在的格點就會改變一次顏色.因A、B兩點異色,故從A到B“車”走的步數是一個奇數.但半張棋盤共有45個格點,不重復地走遍半張棋盤要44步，但44是一個偶數.

13.  如圖對8´8的棋盤染色,則每一個4´1的長方形能蓋住2白2黑小方格,而每一個2´2的正方形能蓋住1白3黑或1黑3白小方格,那么7個2´2的正方形蓋住的黑色小方格數總是一個奇數,但圖中黑格數為32是一個偶數.故這種剪法是不存在的.

    14.  如下圖所示,將表(1)黑白相間地染色.

              表(1)

    本題條件允許如圖所示的6個操作,這6個操作無論實行在那個位置上,白格中的數字之和減去黑格中的數字之和總是一個常數,所以表1中白格中數字之和與黑格中數字之和的差即32,等于表2中白格中數字之和與黑格中數字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.