同學(xué)們要參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,要進(jìn)行隊(duì)列操練,解放軍排著整齊的方隊(duì)接受檢閱等,無(wú)論是訓(xùn)練或接受檢閱,都要按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形,于是就產(chǎn)生了這一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,今天我們將共同研究和分析這類(lèi)問(wèn)題。
士兵排隊(duì),橫著排叫行,豎著排叫列,若行數(shù)與列數(shù)都相等,正好排成一個(gè)正方形,這就是一個(gè)方隊(duì),這種方隊(duì)也叫做方陣(亦叫乘方問(wèn)題)。
方陣的基本特點(diǎn):
(1)方陣不論哪一層,每邊上的人(或物)數(shù)量都相同,每向里一層,每邊上的 人數(shù)就少2。
(2)每邊人(或物)數(shù)和四周人(或物)的關(guān)系;
四周人(或物)數(shù)=[每邊人(或物)數(shù)-1]×4
每邊人(或物)數(shù)=四周人(或物)數(shù)÷4+1
(3)中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù)(或物)=每邊人(或物)數(shù)×每邊人(或物)數(shù)
(4)空心方陣的總?cè)?或物)數(shù)=（最外層每邊人(或物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4
例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,排成一個(gè)方陣,最外層一周的人數(shù)為20人,問(wèn)方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?
分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1,可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
解:(1)方陣最外層每邊的人數(shù):20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù):6×6=36(人)
答:方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個(gè)方陣共有36人。
例2.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個(gè),明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子?
分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè),知道最外面一層,每邊放15個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù),就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。
(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以4,計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。
解:(1)最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:(15-2-2-1)×4=40(個(gè))
(2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)×3×4=144(個(gè))
答:這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)空心方陣共用144個(gè)棋子。
例3.玲玲家的花園中,有一個(gè)如下圖那樣,由四個(gè)大小相同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵,問(wèn)大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?
分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。
(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復(fù)計(jì)算的3棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻�(gè)頂點(diǎn)上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。
例4.五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個(gè)方陣,其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8,如果兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的丙方陣,丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人,甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人?
分析:若只排列一個(gè)乙方陣,則多余的人數(shù)為(即甲方陣的人數(shù))8×8=64(人),排列一個(gè)實(shí)心的丙方陣,不足的人數(shù)是:8×8=64(人)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則乙多的人數(shù)是:8×8+8×8=128(人),又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層,每邊增加2人,丙方陣比乙方陣的外邊多4人,丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是4÷2=2(層),方陣擴(kuò)展2層,需要增加128人,則方陣最外層的人數(shù)是(128+2×4)÷2=68(人),丙方陣的總?cè)藬?shù)18×18-8×8=260(人)
解:(1)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則方陣最外層的人數(shù)是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方陣最外層每邊的人數(shù)是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方陣的總?cè)藬?shù):18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有260人。
例5.有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù),柳樹(shù)各多少棵?
分析:根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù),白點(diǎn)表示柳樹(shù)觀察圖(1)(2)不管是柳樹(shù)種在方陣最外層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的。因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹(shù)分別為(7-1)×4÷2=12(棵)。
當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù),即在方陣中,楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵。
解:(1)最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí),楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵:
楊樹(shù):(7×7+1)÷2=25(棵)
柳樹(shù):7×7-25=24(棵)
(3)當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí),柳樹(shù)比楊樹(shù)多1樹(shù)
柳樹(shù)(7×7+1)÷2=25(棵)
楊樹(shù)7×7-25=24(棵)
答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹(shù)12棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)24棵,或者有楊樹(shù)24棵,柳樹(shù)25棵。
練 一 練
1.有一隊(duì)士兵,排成了一個(gè)方陣,最外層一周共有240人,問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人?
2.某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣如果最外層每邊有20個(gè)學(xué)生,問(wèn)這個(gè)空心方陣最里邊一周有多少個(gè)學(xué)生?這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生?
3.六一兒童節(jié)前夕,在校園雕塑的周?chē)?用204盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆?
4.三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演,排成隊(duì)形正好是由每7個(gè)人為一邊的6個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形,求正六邊形一周共有多少名學(xué)生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?
5.現(xiàn)有松樹(shù)和柏樹(shù)以隔株相間的種法,種成9行9列的方陣,問(wèn)這個(gè)方陣最外層有松樹(shù)和柏樹(shù)各多少棵?方陣中共有松樹(shù)柏樹(shù)各多少棵?
練 一 練 答 案
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
(2)(20-2×3-1)×4=42(個(gè)) (20-40×4×4=256(個(gè))
(3)最外層每邊人數(shù)=總數(shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)
204÷4÷3+3=20(盆)
(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
(5)最外層松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏樹(shù)是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)
答:柏樹(shù)41棵,松樹(shù)40棵,或松樹(shù)41棵,柏樹(shù)40棵。
