出發(fā)點

　　迪克之所以贏不了，是因為他始終沒搞清楚應該循著什么樣的思路去尋找出發(fā)點。飛行員可以從靠近南極的某一點出發(fā)，要求這一點滿足如下條件：向南飛100公里后，再向東飛100公里，恰好繞著南極轉(zhuǎn)兩圈而不像剛才那樣繞南極轉(zhuǎn)一圈，那么這時再向北飛，自然可以回到出發(fā)點。滿足這一條件的出發(fā)點又形成了一個新的以南極為中心的圓。同理，飛行員還可以從更小的圓上的點出發(fā)，只要能滿足飛機在向東飛時繞南極轉(zhuǎn)三圈、轉(zhuǎn)四圈……轉(zhuǎn)任何正整數(shù)的圈數(shù)都可以。可見，滿足條件的點構(gòu)成了一個無窮系列的同心圓，以南極為圓心，半徑無限趨近于100公里。

　　下面是另一種關(guān)于航行的問題，它涉及到的是一種美妙的球面曲線，即所謂的“等斜曲線”或稱“等方位線”。假設一架飛機從赤道上某點出發(fā)，向東北方向飛行，那么它的最終落點在哪里？它經(jīng)過的路線有多長？這個路線呈什么形狀？

　　你會驚奇地發(fā)現(xiàn)，飛機經(jīng)過的路線是一個以不變的角度與地球子午線相交的螺旋形曲線，它最終的落點在北極。該曲線是一個球面螺旋線，它須繞北極旋轉(zhuǎn)，越轉(zhuǎn)半經(jīng)越小，最后終止于北極。把飛機作為一個動點，甚至可以認為這個點繞北極轉(zhuǎn)了無數(shù)圈，那么它所經(jīng)過的路線的長度也還是有限的、可計算的。所以，飛機若以不變的速度飛行，它終究要在一定的時間內(nèi)到達北極。

　　對于不同類型的地圖，等斜曲線在圖上的表現(xiàn)形式不盡相同。在眾所周知的麥卡托式世界地圖上，它表現(xiàn)為直線，事實上也正因為如此，麥卡托式地圖才備受航海家們青睞。如果一條船或一架飛機在行進時保證羅盤的指針不變，那么它的行進路線表現(xiàn)在地圖上就是一條直線。

　　如果一架飛機從北極出發(fā)向西南方向飛行，結(jié)果將會怎樣？這個問題與上面的問題可謂互遞互補，因為它們行進路線的形狀完全一樣，只是方向相反。但有一點，我們不能肯定這條曲線交于赤道上哪一點，或者說，它與赤道上任何一點都有可能相交。這一結(jié)論可以得到證明，因為從赤道上的任何一點出發(fā)反方向飛行都可以回到北極。當然，飛機從北極出發(fā)，經(jīng)過赤道之后如果繼續(xù)前進，那么它最終必然要落在南極。

　　如果我們把等斜曲線投影到與赤道平行與北極(或南極)相切的平面上，那么這時的投影線就是等角螺旋線，又稱為對數(shù)螺旋線。這種螺旋線與半徑的交角始終保持不變。

　　另一個為人們所熟知的行進路線問題是四個烏龜?shù)膯栴}。它也涉及到對數(shù)螺旋線，但是其中有一個形象的故事來介紹這一技巧。

　　湯姆?皮莎訓練了四個小海龜：阿娜、玻瑟、查爾斯、蒂里拉，把它們依次編號為A、B、C、D。一天，他把四個小海龜放在一間屋子的四個角落里，讓A始終朝著B所在的位置前進，讓B始終朝著C所在的位置前進，同理，C朝著D、D朝著A的方向走。他請全家人來觀看。

　　“非常有趣，我的兒子！”皮莎先生高興地說，“每個海龜都以同樣的速度徑直向它前面的海龜爬去，那么，每一時刻它們四個都處在某個正方形的角上。”(如圖2-9所示)

　　圖2-9

　　“是的，爸爸。”湯姆說，“而且這個正方形處在不斷的變化中，越來越小。看！它們即將相聚在正中心！”

　　假設每個海龜以每秒鐘1厘米的速度前進，方形屋子每邊長3米，那么請問每個海龜爬到中心用多長時間？當然，我們在解決問題時可以把一個海龜作為一個點來外理。

　　皮莎先生掏出了計算器，打算施展一下他計算的才能。這時皮莎太太嚷了起來：“不要計算了，親愛的，問題很簡單，需要5分鐘！”

　　皮莎太太怎么解答出來的呢？

　　我們簡單地考察兩個相鄰的海龜，比如A和B。A始終不相關(guān)。這與B在墻角不動、A沿著墻邊直接爬向B是一個效果。

　　上述思路是解決問題的關(guān)鍵。A經(jīng)過的路線與每個墻邊的長度是一樣的。既然墻邊長300厘米，A的行進速度是每秒1厘米，那么當然需要300秒鐘，也就是5分鐘到達B處。對其它三個海龜也是如此，所以5分鐘之后，四個海龜同時到達正方形的中心。

　　借助于計算器，我們不難畫出每隔一小段時間海龜所在的位置，把每一時間間隔中四個海龜?shù)奈恢靡来芜B成線，結(jié)果便形成了如圖2-10的圖形。

　　圖2-10

　　對于所有正多邊形的角上的點，都存在類似的規(guī)律嗎？請先研究一下正三角形，再研究一下正五邊形，如果已知正多邊形的邊長，要求出一只海龜追上前面一只海龜需走過的路程長度，你能找到一個通用的公式嗎？如果是無窮多的海龜，從正無窮多邊形的角上同時出發(fā)，首尾相接依次追擊，結(jié)果將會如何？它們是否永遠也聚不到一起？再假設，最初的多邊形不是規(guī)則的正多邊形，比如四個海龜從一個矩形的四個頂點上同時出發(fā)，結(jié)果又會如何？

　　回到我們最初的例子中。如果四只小海龜在屋子中央相聚后，發(fā)現(xiàn)它們彼此都很厭惡，便彼此背向爬開，每只海龜都徑直遠離它左邊的小海龜，那么請問：四只海龜是否會重新回到屋子的四個角落？