模算術(shù)

　　海倫避免冗長(zhǎng)的從1數(shù)到1976的訣竅是她領(lǐng)悟到這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)運(yùn)用叫作“模算術(shù)”或“鐘算術(shù)”的理論很快得到答案。

　　鐘算術(shù)模仿了12個(gè)數(shù)字的有限算術(shù)。實(shí)際上，在以12為基數(shù)的模算術(shù)中，12與O是一致的。假定現(xiàn)在是12點(diǎn)整，而且你希望知道100個(gè)小時(shí)后是幾點(diǎn)，這只需要把100被12除，得出的余數(shù)就是。余數(shù)等于4說(shuō)明100小時(shí)后，鐘顯示出的時(shí)間是4點(diǎn)整。這里與我們有關(guān)的只是余數(shù)。“100”這個(gè)數(shù)被認(rèn)為與“4”等價(jià)(以12為模)，只不過(guò)意味著100被12除時(shí)，余數(shù)為4。

　　你明白亨利叔叔的計(jì)數(shù)方法是怎樣與“鐘算術(shù)”等同的嗎？唯一的不同點(diǎn)是中點(diǎn)的三個(gè)瓶子每一個(gè)代表兩個(gè)數(shù)字，因?yàn)樗鼈冊(cè)趦蓚�(gè)不同方向被數(shù)了兩次。“8”數(shù)到了開(kāi)始后的第二個(gè)瓶子，然后另一個(gè)周期重新開(kāi)始。因此這個(gè)過(guò)程顯示了一個(gè)以8為模的算術(shù)過(guò)程。

　　海倫只確定了一下1976的等價(jià)值(以8為模)。換句話(huà)說(shuō)，把1976用8除后得到的余數(shù)是零。在以8為模的算術(shù)中，8=0(以8為模)。因此，數(shù)到1976一定停在從計(jì)數(shù)開(kāi)始時(shí)第二個(gè)瓶子上。

　　如果亨利叔叔數(shù)的數(shù)很大時(shí)比如12345678987654321，你如果想知道他最后停在哪兒的話(huà)，是否一定要用整個(gè)數(shù)字除以8呢？其實(shí)不必。因?yàn)?000=0(以8為模)，你只需把最后的3位數(shù)，321，用8除一下即可。321被8除后余數(shù)是1，這說(shuō)明12345678987654321=1(以8為模)。所以計(jì)數(shù)最后一定停在第一個(gè)瓶子上。

　　改變瓶子的數(shù)量，你可用偶數(shù)模設(shè)計(jì)很多有限算術(shù)模型。如果數(shù)瓶的方式是通常的從左向右數(shù)，那么你就可以以任何奇數(shù)或偶數(shù)為模，建立一個(gè)有限算術(shù)模型。

　　“約瑟夫難題”是一個(gè)包含物體周期性計(jì)數(shù)的著名難題，因?yàn)樗�取材于�?nèi)中主人公叫作約瑟夫的一則古羅馬故事。與這個(gè)問(wèn)題相類(lèi)似的還有很多作品。下面是一個(gè)有趣的新編外國(guó)故事。

　　從前，一個(gè)富有的國(guó)王有一個(gè)漂亮的女兒，她的名字叫約瑟芬。追求她的小伙子成百上千。最后，除了她選中的10個(gè)她最喜歡的人之外，其他人都被排除了。

　　幾個(gè)月過(guò)去了，約瑟芬還沒(méi)有最后拿定主意。國(guó)王生氣了，他說(shuō)：“寶貝，下個(gè)月你就17歲了，所有公主都要在到這年齡前結(jié)婚是我們的習(xí)俗。”

　　她答道：“爸爸，可我還沒(méi)最后決定我是否最喜歡喬治。”

　　“即然如此，今天我們只好通過(guò)慣例來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。”

　　接著，國(guó)王解釋了一下這古老儀式的進(jìn)行方式。他說(shuō)：“10個(gè)人站成一個(gè)圓周，你可以挑選任何一個(gè)你喜歡的人作為1，然后你開(kāi)始順圓圈按順時(shí)針?lè)较驍?shù)數(shù)，數(shù)到你的年齡――17為止，第十七個(gè)人必須退出這個(gè)圈。我們給他100金幣做補(bǔ)償，送他回家。”

　　“他走后，你再?gòu)?數(shù)到17。這次從已退出那人的下一位數(shù)起，當(dāng)數(shù)到17時(shí)，第十七個(gè)人像前面一樣被排除掉。依此繼續(xù)做一下去，總是數(shù)剩下的人，直到剩下最后一個(gè)。他就是要和你結(jié)婚的那個(gè)人。”

　　約瑟芬皺著眉說(shuō)：“爸爸，我還沒(méi)搞清楚，我用10個(gè)金幣做一下演習(xí)好嗎？”

　　國(guó)王同意了。約瑟芬把10枚金幣擺成一個(gè)圓圈，開(kāi)始轉(zhuǎn)圈數(shù)數(shù)。拿掉每一個(gè)第17枚，直到剩下最后一個(gè)。國(guó)王一直守候著直到他女兒完全掌握了這個(gè)過(guò)程。

　　十名求婚者被帶到了王宮。他們圍著約瑟芬站成一個(gè)圓圈。她一點(diǎn)也不含糊地從帕西瓦開(kāi)始數(shù)了起來(lái)。很快地，除了她芳心暗許的喬治外，其余的人都被排除了。約瑟芬有什么訣竅使她很容易找到最后一定剩下喬治的第一個(gè)數(shù)呢？

　　下面是約瑟芬如何安排的妙諦所在。她在數(shù)金幣做實(shí)驗(yàn)時(shí)，記住了最后留下的金幣是從她開(kāi)始數(shù)的那枚金幣往下的第三號(hào)，因而當(dāng)她數(shù)人時(shí)，從能把喬治排在第三號(hào)的那個(gè)數(shù)起。

　　約瑟芬問(wèn)題的一般原理可通過(guò)一副撲克牌的13張黑桃來(lái)說(shuō)明。你能把這些牌排成一個(gè)順序表演如下的約瑟芬計(jì)數(shù)嗎？

　　計(jì)數(shù)開(kāi)始時(shí)，裝有正面向下的十三張撲克牌的盒拿在一只手上，稱(chēng)最上面一張牌為1，翻開(kāi)它是黑桃A。把A放在桌子上，然后數(shù)1、2，把第一張牌放在盒底下，第二張牌翻過(guò)來(lái)放在桌上面是黑桃2。然后數(shù)1、2、3，把頭兩張牌放在盒底下，第三張牌翻過(guò)來(lái)放在桌上，是黑桃3。如此繼續(xù)下去，每次從盒上部只拿一張牌，然后再順序拿第二張(與約瑟芬環(huán)周計(jì)數(shù)類(lèi)同)，直到你翻開(kāi)放到桌上的十三張牌恰好是從A到K的順序。

　　下面是這些卡片的編排順序；從上到下，做這樣一個(gè)排列即可：A、8、2、5、10、3、Q、J、9、4、7、6、K。

　　如果你認(rèn)為設(shè)計(jì)這樣一個(gè)序列要浪費(fèi)人們大量的時(shí)間，那么有一種能得到這序列的簡(jiǎn)單方法。很多人從事這類(lèi)研究的能手在領(lǐng)悟到使問(wèn)題簡(jiǎn)化的啟示之前，都花費(fèi)了大量時(shí)間。