我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程是無能為力的，只有把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決。對于復(fù)數(shù)a＋bi（a、b都是實數(shù)）來說，當(dāng)b=0時，就是實數(shù)；當(dāng)b≠0時叫虛數(shù)，當(dāng)a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)。可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢？

　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成=40，盡管他認(rèn)為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。

　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星──虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，習(xí)的數(shù)學(xué)武子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運(yùn)算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是的形式（a、b都是實數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。

　　德國數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實數(shù)a的點a，縱軸上取對應(yīng)實數(shù)b的點b，并過這兩點引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點c就表示復(fù)數(shù)a＋bi。象這樣，由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”。高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a＋bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法──直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點與復(fù)數(shù)—一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。

　　經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈──虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。

　　隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。