（3）數(shù)的整除

　　例 1（1）下列算式中，能整除的算式是（    ）。1.5÷0.5，10÷4，24÷6。

　　（2）判斷題：18能被0.3整除（    ）。

　　[解]（1）24÷6。

　　（2）×

　　[常見錯誤]

　　（1）1.5÷0.5，10÷4，24÷6。

　　（2）√

　　[分析]

　　產(chǎn)生上述錯誤的原因是不明白整除必須具備三個條件：①整數(shù)除以自然數(shù)；②商是整數(shù)；③余數(shù)為0．1．5÷0.5不合第①條，10÷4不合第②③條，18÷0.3也不合第①條，所以都不能叫做整除．只有24÷6=4，才叫做24能被6整除．

　　例 2 分解質(zhì)因數(shù)

　　（1）把180分解質(zhì)因數(shù)。

　　（2）把60分解質(zhì)因數(shù)。

　　180=2×2×3×3×5．  60=2×2×3×5。

　　[常見錯誤]

　　180=4×3×3×5，60=2×2×15，60=1×2×2×3×5。

　　[分析]

　　產(chǎn)生上述錯誤的主要原因是對于分解質(zhì)因數(shù)的概念不清．把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)．因此，這些相乘的因數(shù)必須是質(zhì)數(shù)，而180=4×3×3×5和60=2×2×15中的4和15都是合數(shù)．60=1×2×2×3×5中的1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)．這是在短除時沒有用質(zhì)數(shù)去除或除得的商還不是質(zhì)數(shù)的緣故．所以，把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，一定要用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數(shù)，就照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止；然后把各個除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。

　　例 3 求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

　　（1）12和8的最大公約數(shù)是（    ），最小公倍數(shù)是（    ）。

　　（2）36和48的最大公約數(shù)是（    ），最小公倍數(shù)是（    ）．

　　（3）4、6和9的最大公約數(shù)是（    ），最小公倍數(shù)是（    ）。

　　（4）6、9和15的最大公約數(shù)是（    ），最小公倍數(shù)是（    ）。

　　（5）從10起的三個連續(xù)自然數(shù)是（    ），它們的最大公約數(shù)是

　　（    ），最小公倍數(shù)是（    ）。

　　[解]（1）4，24。

　　（2）12，144。

　　（3）1，36。

　　（4）3，90。

　　（5）10，11，12.1，660。

　　[常見錯誤]

　　（1）2，48．或24，4。

　　（2）4，432．或144，12。

　　（3）6，36。

　　（4）1，810。

　　（5）1，1320。

　　[分析]

　　（1）（2）題的第一種錯誤產(chǎn)生的原因是因為在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的過程中，只完成了下列步驟：

　　上面6和4，9和12都不是互質(zhì)數(shù)，還應(yīng)該用它們的公約數(shù)繼續(xù)去除，直除到商為互質(zhì)數(shù)為止．否則得到的公約數(shù)不是最大的，公倍數(shù)也不是最小的．

　　（1）（2）題的第二種錯誤產(chǎn)生的原因是對最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念不清，誤認(rèn)為大數(shù)就是最大公約數(shù)，小數(shù)就是最小公倍數(shù)．所以，一定要先區(qū)分約數(shù)和倍數(shù)的概念。

　　（3）題的情況就比較復(fù)雜了，因為求三個數(shù)（或三個以上的數(shù)）的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，與求兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法有些不相同．本題最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求法分別是：

　　因為除1外，沒有一個自然數(shù)能同時被4、6、9整除，所以4、6和9的最大公約數(shù)是1.4、6和9的最小公倍數(shù)是36。

　　求最大公約數(shù)時，要用能整除每個數(shù)的約數(shù)去除，而求最小公倍數(shù)時，只要有兩個數(shù)還有公約數(shù)就要繼續(xù)往下除，直至除到兩兩互質(zhì)為止．如果不能區(qū)分這一點(diǎn)，就會誤認(rèn)為它們的最大公約數(shù)是6。

　　（4）題沒有找出6、9和15的公約數(shù)3，所以求出的1和810都是錯誤的．（5）題由于10和12不是互質(zhì)數(shù)，求三個數(shù)的最小公倍數(shù)時應(yīng)用2去除，因此，最小公倍數(shù)是660，不是1320．即：

　　10、11和12的最小公倍數(shù)為2×5×11×6=660。

　　例 4 填空題

　　（1）在 7，8，15，13，24，36這六個數(shù)中，（    ）是質(zhì)數(shù)，（    ）是合數(shù)；（    ）是奇數(shù)；（    ）是偶數(shù)。

　　（2）能同時被2、3、5整除的最小的數(shù)是（    ）。

　　（3）10以內(nèi)不是偶數(shù)的合數(shù)是（    ）；不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)是（    ）。

　　（4）A既能整除12，又能整除36，A最大應(yīng)該是（    ）。

　　（5）在自然數(shù)中，最小的質(zhì)數(shù)是（    ），最小的合數(shù)是（    ），最小的奇數(shù)是（    ），最小的偶數(shù)是（    ）。

　　[解]（1）（7，13）是質(zhì)數(shù)，（8，15，24，36）是合數(shù)，（7，15，13）是奇數(shù)，（8，24，36）是偶數(shù)。

　　（2）是（30）。

　　（3）是（9）；是（2）。

　　（4）是（12）。

　　（5）最小的質(zhì)數(shù)是（2），合數(shù)是（4），奇數(shù)是（1），偶數(shù)是（2）。

　　[常見錯誤]

　　（1）（7，15，13）是質(zhì)數(shù)，（8，24，36）是合數(shù)。

　　（2）是（15）或是（60）。

　　（3）是（4，6，8，9），是（2，3，5，7）。

　　（4）是（36）、（72）、（144）…

　　（5）最小的質(zhì)數(shù)是（1），合數(shù)是（2），奇數(shù)是（3），偶數(shù)是（4）。

　　例 5 判斷題

　　（1）互質(zhì)數(shù)沒有公約數(shù)．（    ）

　　（2）一個自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)．（    ）

　　（3）在自然數(shù)列中，相鄰的兩個數(shù)一定互質(zhì)．（    ）

　　（4）所有的偶數(shù)都是合數(shù)．（    ）

　　（5）如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)必定都是質(zhì)數(shù)．（    ）

　　（6）最小的質(zhì)數(shù)是1．（    ）

　　（7）兩個數(shù)的公約數(shù)，一定小于這兩個數(shù)中的每個數(shù)．（    ）

　　（8）兩個質(zhì)數(shù)的積一定是合數(shù)．（    ）

　　[解]（1）×（2）×

　　（3）√（4）×

　　（5）×（6）×

　　（7）×（8）√

　　[常見錯誤]

　　判斷恰與上述判斷相反。

　　[分析]

　　上面例4和例5的解答錯誤都是屬于概念性錯誤，因為在數(shù)的整除這一章教材中，概念很多，并且這些概念既有聯(lián)系，又有區(qū)別，很容易混淆．下面我們分類來分析上述各題的解答錯誤。

　　1．約數(shù)和倍數(shù)

　　例4（2）題把能同時被2、3、5整除的最小的數(shù)寫成是15或60，前者不能被2整除，后者雖說同時能被2、3、5整除，但不是最小的．所以都是錯誤的．要能被2、3、5整除，且是最小的數(shù)，顯然就是求2、3、5的最小公倍數(shù)，2、3、5已是兩兩互質(zhì)，所以最小公倍數(shù)為2×3×5=30。

　　例4（4）題把A最大填成36等，是因為把“A能整除12，又能整除36”錯誤理解為“A能被12整除，又能被36整除”．這和除法里的“除”和“除以”的區(qū)別是一個道理。

　　例5（7）題“兩個數(shù)的公約數(shù)，一定小于這兩個數(shù)的每個數(shù)”的說法是錯誤的，因為如果小數(shù)能整除大數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)．它并不小于這兩個數(shù)的每個數(shù)．如36和12的最大公約數(shù)就是12．

　　2．質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)

　　質(zhì)數(shù)和合數(shù)是從約數(shù)的個數(shù)進(jìn)行判斷的，一個大于1的整數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，就叫做質(zhì)數(shù)；如果除了1和它本身以外還有其他的約數(shù)，就叫做合數(shù)．而奇數(shù)和偶數(shù)是從能否被2整除來進(jìn)行判斷的，能被2整除的叫做偶數(shù)；不能被2整除的叫做奇數(shù)．因為除2以外，所有的偶數(shù)都為合數(shù)，所有質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)，而又有許多奇數(shù)又為合數(shù)，所以很容易把質(zhì)數(shù)與奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)混淆．再有1是奇數(shù)，但1既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)．如果這些概念不清楚就會出現(xiàn)解題錯誤。

　　例4（1）題把7、15、13看成是質(zhì)數(shù)，就是因為把質(zhì)數(shù)與奇數(shù)混淆了，7、15、13雖然都是奇數(shù)，但15又是合數(shù)。

　　例4（3）題雖然4、6、8、9都是合數(shù)，但其中僅有9不是偶數(shù)，所以不是偶數(shù)的合數(shù)只有9；2、3、5、7都是質(zhì)數(shù)，但其中僅有2不是奇數(shù)．所以不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2。

　　例4（5）題，按定義來判斷，因為1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；那么2是最小質(zhì)數(shù)；1是奇數(shù)，那么3就不是最小的奇數(shù)；2是偶數(shù)，那么4也不是最小的偶數(shù)。

　　例5（1）題，因為任何兩個數(shù)至少都有公約數(shù)1，那么不能說“互質(zhì)數(shù)沒有公約數(shù)”。

　　例5（2）（6）題，因為1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)，所以“一個自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)”和“最小的質(zhì)數(shù)是1”的判斷都是錯誤的。

　　例5（3）題，因為在自然數(shù)列中，相鄰的兩個數(shù)都只有公約數(shù)1，所以它們“一定互質(zhì)”的判斷是正確的。

　　例5（4）題，因為2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，所以“所有的偶數(shù)都是合數(shù)”的判斷是錯誤的。

　　例5（5）題，互質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)是兩個既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念．質(zhì)數(shù)是對自然數(shù)分類而言，它是說明數(shù)的性質(zhì)的概念，而互質(zhì)數(shù)是說明數(shù)與數(shù)關(guān)系的一個概念，它和數(shù)本身的性質(zhì)沒有關(guān)系．只要兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)就是互質(zhì)數(shù)．因而可能這兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，或一個質(zhì)數(shù)一個合數(shù)，或兩個數(shù)都是合數(shù)．如 3和5、7和10，8和9等都是互質(zhì)數(shù)．所以“如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的判斷是錯誤的。

　　例5（8）題，因為兩個質(zhì)數(shù)的積，它的約數(shù)除了1和它本身外，還有這兩個質(zhì)數(shù)一定是它的約數(shù)，所以“兩個質(zhì)數(shù)的積一定是合數(shù)”。

　　綜上所述，要正確解答這類題的關(guān)鍵是要理解和掌握有關(guān)的概念，切忌混淆。