劉徽證明和所用的圖都已經(jīng)失傳，但是據(jù)現(xiàn)存《日高說(shuō)》和殘圖以及其他佐證，原證當(dāng)大致如下：

　　由出入相補(bǔ)原理，得

　　□JG＝□GB， （1）

　　□KE＝□EB， （2）

　　相減得

　　□JG－□KE＝□GD，

　　所以

　�。‵I－DH）×AC＝ED×DF，

　　即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。

　　這就得到上述公式。

　　按《海島》共九題都屬測(cè)望之類(lèi)，所得公式分母上都有兩測(cè)的差，“重差”這一名稱(chēng)可能由此而來(lái)。其余八題公式都可依出入相補(bǔ)原理用和上面類(lèi)似的方法證明，現(xiàn)在從略。

　　元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類(lèi)似的幾個(gè)題，朱世杰對(duì)這些題的解法應(yīng)該有古代相傳下來(lái)的一定來(lái)歷。依據(jù)朱對(duì)海島一題的解法，我們認(rèn)為原證比上面所示的可能稍復(fù)雜一些。如下頁(yè)的圖，現(xiàn)在重作證明如下:

　　由出入相補(bǔ)原理，除（1）、（2）外又有

　　□PG＝□GD， （3）

　　由（1）、（2）、（3）得

　　□IN＝□EB＝□KE

　　所以 MI＝DH， （4）

　　FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。

　　由（3）式就得到海島公式。

　　如果依照歐幾里得幾何體系的習(xí)慣證法，那就自然應(yīng)該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數(shù)學(xué)史家大都依這一方法補(bǔ)作海島公式的證明，這當(dāng)然不是劉徽的原意，也和我國(guó)古代幾何的傳統(tǒng)相違背。注意作平行線的時(shí)候應(yīng)有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和 M＇的位置完全不同。

　　明末耶穌會(huì)傳教士利瑪竇（1552—1610）來(lái)我國(guó)，他的主要學(xué)術(shù)工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測(cè)量法義》一書(shū)，其中載有和海島題完全類(lèi)似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點(diǎn)M使（4）式成立，再用比例理論作證，見(jiàn)本頁(yè)上圖。按常理來(lái)說(shuō)，利瑪竇應(yīng)該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國(guó)古代傳統(tǒng)不謀而合，頗使人迷惑不解�，F(xiàn)在提出這一問(wèn)題，希望大家共同探討。