例8 甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.
兩人先約定一個(gè)整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字之一填入下面任一個(gè)方格中
每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個(gè)六位數(shù).如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.
如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙能取勝？
解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數(shù)的個(gè)位，填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.
上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.
如果N＝1，很明顯乙必獲勝.
如果N＝3或9，那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.
考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個(gè)六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.
綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.
記住，1001＝7×11×13，在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測(cè)驗(yàn)題時(shí)，常常是有用的.
二、分解質(zhì)因數(shù)
一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.
質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….
例9 ○＋（□+△）=209.
在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.
解：209可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即
209＝11×19.
不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.
這個(gè)算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.
一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).
任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
還可以寫成360＝23×32×5.
這里23表示3個(gè)2相乘，32表示2個(gè)3相乘.在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.
