在2013年小升初中，奧數(shù)競賽占了一個非常重要的位置。也可以說奧數(shù)就是重點(diǎn)中學(xué)的一塊小小的敲門磚，可以讓你在小升初擇校過程中事半功倍。下面是奧數(shù)網(wǎng)小編整理的2013年數(shù)學(xué)競賽解題密匙，希望對大家有所幫助。

四、假設(shè)問題——以“假”求“真”，化難為易

　　用假設(shè)的方法來解答問題是一種極其重要的思維方法。恩格斯曾經(jīng)指 出：“只要自然科學(xué)在思維著，它的發(fā)展形式就是假設(shè)。”

　　科學(xué)史上的許多有重大影響的科學(xué)理論，如門捷列夫的元素周期表、哥 白尼的太陽中心說等等，最初就是以假設(shè)的形式出現(xiàn)的。

　　在解答數(shù)學(xué)問題中，假設(shè)未知數(shù)為 x，列出方程進(jìn)行解題，就是建立在 假設(shè)的思想基礎(chǔ)上的。由于假設(shè)，可以把未知看作已知，可以把復(fù)雜的數(shù)量 關(guān)系簡單化。我國古代算術(shù)中的“雞兔同籠”問題，就是用假設(shè)法來解的， 它往往先假設(shè)某種現(xiàn)象的存在，得到和已知條件不同的“差異”，再分析“差 異”的原因，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)換，使問題得到解決。

　　例 1 籠中共有雞兔 100 個頭，350 只腳，問雞兔各有多少頭?(1990 年濟(jì)南市歷下區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)五年級競賽題)

　　分析：假設(shè) 100 頭全為兔，則應(yīng)有 4×100=400 只腳，比實(shí)際多了 400-350=50 只腳，如果把一只兔換成一只雞，那么可減少 4-2=2 只腳，要減少 50 只腳，就要換 50÷2=25 頭雞，這樣就求出了雞的頭數(shù)。

　　解法一：

　　(4×100-350)÷(4-2)=25(頭)⋯⋯雞，100-25=75 (頭)⋯⋯兔。

　　或者 (350-2×100)÷(4-2)=75(頭)⋯⋯兔，100-75=25 (頭)⋯⋯雞。

　　解法二：

　　設(shè)：雞有 x 頭，則兔有(100-x)頭。

　　2x+4×(100-x)=350，解之得 x=25。

　　100-25=75(頭)⋯⋯兔。 答：雞有 25 頭，兔有 75 頭。

　　例 2 光明書店賣出甲、乙兩種書共 120 本，甲種書每本 5 元，乙種書每本 3.75 元，賣出的甲種書比乙種書多收入 162.5 元。甲、乙兩種書各賣出幾 本?(《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》第五屆初賽題)

　　分析 1：假設(shè)全部賣出的為甲種本，則甲種本比乙種本多收入 5×120-3.75×0=600 元，比實(shí)際的相差數(shù)多 600-162.5=437.50 元。如果甲種本換 一本為乙種本(也就是甲種本少賣一本，乙種本多賣一本)，那么甲種本的收入比乙種本少 5+3.75=8.75 元，要減少 437.50 元，就要換幾次(也就是 乙種本的本數(shù))， 437.50÷8.75=50(本)。

　　解法 1：

　　(5×120-162.5)÷(5+3.75)=50(本)⋯⋯乙種本，120-50=70(本)⋯⋯ 甲種本。

　　分析 2：假設(shè)甲、乙各賣出 120÷2=60 本，則甲比乙多收入(5-3. 75)×60=75 元，比實(shí)際的相差數(shù)少 162.5-75=87.5 元(說明甲不止 60 本)。 如果乙換一本為甲，那么乙的收入比甲少 5+3.75=8.75 元，要增加 87.5 元， 就要換幾次(也就是需要增加甲種本的本數(shù))， 87.5÷8.75=10 (本)，所以賣出的甲種本有 60+10=70(本)。

　　解法 2：

　　[162.5-(5-3.75)×(120÷2)]÷(5+3.75)=10(本)

　　60+10=70(本)⋯⋯甲種本，

　　60-10=50 (本)⋯⋯乙種本。 答：賣出的甲種本有 70 本，賣出的乙種本有 50 本。

　　例 3 有 1 元、5 角、2 角三種人民幣 11 張，共值 4.7 元，其中 2 角的 張數(shù)比 5 角多 3 張。三種人民幣各有幾張?

　　分析：由于 2 角與 5 角的張數(shù)不同，在調(diào)換時較難進(jìn)行。如果 5 角多 3 張，那么題意改為“有 1 元、5 角、2 角的人民幣共 11+3=14 張，共值 4.7+0.5×3=6.2 元(62 角)，其中 2 角的張數(shù)與 5 角的同樣多，求各有幾張?”再 用假設(shè)法解題。

　　根據(jù)以上的改題，可以假設(shè)全是 1 元(10 角)的，則共值 10×14=140 角，比實(shí)際多 140-62=78 角，如果用 2 張 10 角的，調(diào)換：1 張 2 角、1 張 5 角的(總張數(shù)不變)，那么可少 10×2-2-5=13 角，要減少 78 角，就要換幾 次(也就是 2 角或 5 角的張數(shù))， 78÷13=6(張)，就是原來 2 角的有 6 張，原來 5 角的有 6-3=3 張。

　　解法：

　　[10× (11+3)-(47+5×3)]÷(10×2-2-5)=6(張)⋯⋯2 角，6-3=3(張)⋯⋯5 角， 14-2×6=2(張)⋯⋯1 元。

　　答：1 元有 2 張，5 角有 3 張，2 角有 6 張。

　　如果原題中“2 角的減少 3 張”，你能解答嗎?你能用列方程的方法解 答嗎?

　　通過以上例題，可以看到用假設(shè)法解答“雞兔問題”時，它的一般解題 規(guī)律是：

　　(1)假設(shè)結(jié)果(如籠中都是兔);

　　(2)求出相差(如腳的只數(shù)與某一已知條件有“差異”);

　　(3)進(jìn)行調(diào)換(如一只兔調(diào)換一只雞，使兔的只數(shù)減少);

　　(4)由甲入手，求出是乙(假設(shè)籠中的動物都是兔，但先求出的倒是雞 的頭數(shù))。