例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格內(nèi)，制成三階幻方。 解：(1)求幻和：(4+5+⋯⋯+12)÷3=72÷3=24。

　　(2)求中心數(shù)：∵72+3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。(3)確定四角 數(shù)：由上題九個(gè)數(shù)中有五個(gè)為奇數(shù)，中心數(shù)為奇數(shù)，四角數(shù)為偶。現(xiàn)在九個(gè)數(shù)中五個(gè)為偶數(shù)，中心數(shù)為偶數(shù)，猜想四角數(shù)應(yīng)為奇數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證這個(gè)猜想是 正確的，所以在四個(gè)角上填 7、5、9、11。填其余數(shù)字就容易了(如圖 6)

　　數(shù)陣是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖。數(shù)陣可以分為輻射型、封閉型、 既輻射又封閉的復(fù)合型數(shù)陣。

　　例 3 將 1 至 7 七個(gè)數(shù)字填入圖中的圈內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)的和相等。

　　解：首先確定中心數(shù)。不妨設(shè)中心數(shù)為 a，則 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以， (28+2a)÷3=28÷3+2a÷3。其中，28÷3 商 9 余 1。因此，2a÷3 的余數(shù)必須是 2，那么當(dāng) a 是什么數(shù)時(shí) 2a÷3 的余數(shù)才是 2 呢?為此， 我們?cè)?1～7 六個(gè)數(shù)中試驗(yàn)選擇如下：

　　當(dāng) a=1 時(shí)， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2;(符合要求) 當(dāng) a=2 時(shí)， 2a÷3=4÷3 商 1 余 1;

　　當(dāng) a=3 時(shí)， 2a÷3=6÷3 商 2 余 0;

　　當(dāng) a=4 或 7 時(shí)，余數(shù)也是 2。(符合要求)

　　所以，當(dāng) a=1、4、7 時(shí)，2a÷3 的余數(shù)是 2，即中心數(shù)為 1，4，7。

　　當(dāng) a=l 時(shí)，(28+2)÷3=10，所以除中心數(shù)外，其他兩個(gè)數(shù)的和是

　　10-1=9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和為 9 分成三組填入○內(nèi)即可。 當(dāng) a=4 時(shí)，(28+8)÷3=12，除中心數(shù)外其他兩個(gè)數(shù)的和為 8。

　　當(dāng) a=7 時(shí)， (28+14)÷3=14，除中心數(shù)外其他兩個(gè)數(shù)的和為 7。

　　例 4 將 1 至 6 分別填入圈內(nèi)，使各邊上三個(gè)○內(nèi)數(shù)字和相等。

　　解：首先應(yīng)確定三個(gè)頂點(diǎn)上○內(nèi)的數(shù)字。

　　用 k 表示每邊上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)字和，用 a、b、c 分別表示三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)字，因?yàn)槿齻�(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)在求和時(shí)多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c=3k，21+a+b+c=3k，即 k=(21+a+b+c)÷3。

　　又因?yàn)?a、b、c 可以分成七組數(shù)：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，2，6;1，3，5；2，4，6。

　　我們把這四組 a+b+c 的和與 k 的值列表如下：

　　從表中看出，當(dāng) a+b+c 的最小值是 1+2+3=6 時(shí)，k 的最小值是 9。 當(dāng) a+b+c 的值最大是 4+5+6=15 時(shí)，k 的最大值是 12。

　　1.當(dāng) a+b+c=6，k=9 時(shí)，a、b、C 分別是(1，2，3)、(1，3，2)、

　　(2，1，3)、(2，3，1)、(3，1，2)、(3，2，1)，那么，其余三個(gè)

　　○內(nèi)分別填 4、5、6。我們可以填出六種解法：

　　從上面答案可發(fā)現(xiàn)，只要把一個(gè)解中的數(shù)左右旋轉(zhuǎn)或適當(dāng)調(diào)換就可以得

　　到其余的五個(gè)解。我們把第一個(gè)解叫做基本解，其余的五個(gè)解看作與基本解是同一個(gè)解。

　　2.當(dāng) a+b+c=9，k=10 時(shí)，試驗(yàn)如下：

　　(1)如果 a=1，b=2，c=6(如右圖)，那么在三角形底邊上只有填 2， 才能使底邊上○內(nèi)數(shù)的和是 10，但這樣重復(fù)，因此無(wú)解。

　　(2)如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三個(gè)○內(nèi)分別填 2、4、6，得本題 的第二個(gè)基本解。

　　(3)a=2，b=3，c=4 時(shí)，無(wú)解。

　　3.當(dāng) a+b+c=12，k=11 或 a+b+c=15，k=12 時(shí)，用上面同樣的方法得 到下面的兩個(gè)基本解：

　　從上面分析，我們可以看到，每一個(gè)基本解可得六個(gè)解，本題共有 24

　　個(gè)解，但是今后解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，只要求基本解就可以了。