六年級奧數(shù)課堂：數(shù)論的方法技巧之二

四、反證法

　　反證法即首先對命題的結論作出相反的假設，并從此假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導出矛盾的結果，這就否定了作為推理出發(fā)點的假設，從而肯定了原結論是正確的。

　　反證法的過程可簡述為以下三個步驟：

　　1．反設：假設所要證明的結論不成立，而其反面成立；

　　2．歸謬：由“反設”出發(fā)，通過正確的推理，導出矛盾――與已知條件、公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾或自相矛盾；

　　3．結論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立。

　　運用反證法的關鍵在于導致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

　　解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有

　　100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化簡為 80a=b+c，而這顯然是不可能的，因為a≥1，b≤9，c≤9。這表明所找的數(shù)是不存在的。

　　說明：在證明不存在性的問題時，常用反證法：先假設存在，即至少有一個元素，它符合命題中所述的一切要求，然后從這個存在的元素出發(fā)，進行推理，直到產(chǎn)生矛盾。

　　例2 將某個17位數(shù)的數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加。試說明，得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù)。

　　解：假設得到的和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的加法算式中，末一列數(shù)字的和d+a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b+c≤9。將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a，b與末兩位數(shù)字c，d去掉，所得的13位數(shù)仍具有“將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)”這一性質(zhì)。照此進行，每次去掉首末各兩位數(shù)字，最后得到一位數(shù)，它與自身相加是偶數(shù)，矛盾。故和的數(shù)字中必有偶數(shù)。

　　說明：顯然結論對（4k+1）位數(shù)也成立。但對其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。如12+21，506+605等。

　　例3 有一個魔術錢幣機，當塞入1枚1分硬幣時，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當塞入1枚5分硬幣時，退出4枚1角硬幣；當塞入1枚1角硬幣時，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復將硬幣塞入機器，能否在某一時刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？

　　解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時1角的和1分的總枚數(shù)為 0+1=1，這是奇數(shù)。每使用一次該機器，1分與1角的總枚數(shù)記為Q。下面考查Q的奇偶性。

　　如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時減少1，但我們?nèi)』亓?/font>1枚1角的硬幣（和1枚5分的硬幣），所以總數(shù)Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣（得到4枚1角硬幣），那么Q增加4，而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2，其奇偶性也不變。所以每使用一次機器，Q的奇偶性不變，因為開始時Q為奇數(shù)，它將一直保持為奇數(shù)。